Equações Diferenciais em Modelagem Matemática Computacional

Abertura

Opening

PrefácioPreface

Este mini-curso foi preparado com o intuito de introduzir o aluno de graduação à Modelagem Matemática e Computacional. O enfoque principal é dado a questões de modelagem — tanto física, quanto matemática e numérica. O uso do computador é feito como um "laboratório matemático".

This mini-course was designed to introduce undergraduate students to Mathematical and Computational Modeling. The main focus is on modeling questions — physical, mathematical, and numerical alike. The computer is used as a "mathematical laboratory".

Hoje em dia percebe-se uma dificuldade generalizada, universal — nas melhores universidades, tanto nacionais como no exterior —, do aluno em conseguir transformar um problema apresentado em palavras em um problema matemático. Essa dificuldade se faz na passagem do modelo físico para o modelo matemático. Na introdução, fazemos uma analogia com o processo de tradução entre duas linguagens: a do português e a da matemática.

A widespread difficulty is observed today — in the best universities, both in Brazil and abroad — in students' ability to transform a problem stated in words into a mathematical problem. This difficulty lies precisely in the transition from the physical model to the mathematical model. In the introduction, we draw an analogy with translation between two languages: Portuguese and mathematics.

Os modelos matemáticos usados neste livro serão equações diferenciais ordinárias e parciais (edo e edp). Conceitos básicos serão introduzidos e depois verificados através de experimentos computacionais. Não será esperado do aluno nenhum conhecimento prévio de edo's ou de edp's.

The mathematical models used in this book are ordinary and partial differential equations (ODE and PDE). Basic concepts will be introduced and then verified through computational experiments. No prior knowledge of ODEs or PDEs is expected.

Parte dessas notas surgiram a partir de dois cursos de verão no IMPA e de um mini-curso no XIX CNMAC em Goiânia de 1996 (ministrados por A. Nachbin). Os autores agradecem ao Prof. Martin Tygel, Prof. Marco Antônio Raupp, Beata Gundelach, Mônica Souza e Prof. Dan Marchesin pela revisão do texto.

Part of these notes grew out of two summer courses at IMPA and a mini-course at the XIX CNMAC in Goiânia in 1996 (taught by A. Nachbin). The authors thank Prof. Martin Tygel, Prof. Marco Antônio Raupp, Beata Gundelach, Mônica Souza, and Prof. Dan Marchesin for reviewing the text.

Trecho — Capítulo 1

Excerpt — Chapter 1

O Matemático como Tradutor The Mathematician as Translator

Os problemas em Matemática Aplicada são em geral apresentados em palavras, sem fórmulas. O matemático aplicado deve se acostumar a fazer o papel de um tradutor simultâneo, realizando a tradução do problema em palavras — em português — para o problema na linguagem matemática — "em matematiquês" — e vice-versa.

Problems in Applied Mathematics are generally presented in words, without formulas. The applied mathematician must learn to act as a simultaneous translator, converting the problem from words into the language of mathematics — "mathese" — and back again.

— Nachbin & Tabak, Capítulo 1 · §1.1.1

— Nachbin & Tabak, Chapter 1 · §1.1.1

Exemplo central — crescimento populacional

Central example — population growth

$\dfrac{dN}{dt} = \lambda N, \quad \lambda > 0$

onde $N(t)$ é a população no instante $t$ e $\lambda$ é a constante de proporcionalidade.

where $N(t)$ is the population at time $t$ and $\lambda$ is the proportionality constant.

Método de Euler explícito — discretização temporal

Explicit Euler method — time discretization

$N^{n+1} = N^n + \Delta t \cdot f(N^n), \qquad f(N) = \lambda N$

A solução numérica avança passo a passo, aproximando a derivada por diferenças finitas avançadas.

The numerical solution advances step by step, approximating the derivative with forward finite differences.

edo

Equação Diferencial Ordinária

Ordinary Differential Equation

Relação entre função desconhecida e suas derivadas em relação a uma única variável.

Relation between an unknown function and its derivatives in a single independent variable.

edp

Equação Diferencial Parcial

Partial Differential Equation

Derivadas parciais em múltiplas variáveis independentes — espaço e tempo.

Partial derivatives with respect to multiple independent variables — space and time.

Δt

Passo de tempo

Time step

O incremento discreto do método numérico. Controla precisão e estabilidade.

Discrete increment in the numerical method. Controls accuracy and stability.

Taxa de crescimento

Growth rate

Constante na EDO de população. Positivo → crescimento; negativo → decaimento.

Constant in the population ODE. Positive → growth; negative → decay.

Estrutura

Structure

ÍndiceTable of Contents

Cap. 1Ch. 1 IntroduçãoIntroduction p. 1

1.1 Visão geral do assuntoOverview of the subject 1

1.1.1O problema e o tradutor simultâneoThe problem and the simultaneous translator1

1.1.2O modelo matemáticoThe mathematical model2

1.1.3ValidaçãoValidation4

1.2 Introdução à solução numérica de equações diferenciaisIntroduction to numerical solution of differential equations 6

Cap. 2Ch. 2 Modelagem e aplicaçõesModeling and applications p. 28

2.1Modelo para a dinâmica de populaçõesModel for population dynamics28

2.2Por que as expectativas de vida das cigarras são números primos?Why are cicada life cycles prime numbers?37

2.2.1Cigarras periódicasPeriodic cicadas37

2.2.2RessonânciaResonance39

2.2.3Um modelo para as cigarrasA model for the cicadas43

2.3Modelo para a dispersão de poluentes no arModel for air pollutant dispersion50

2.4Modelo para enchentes em riosModel for river flooding66

2.4.1Um modelo cinemáticoA kinematic model66

2.4.2Modelos numéricosNumerical models73

2.4.3Um exercício de escoamento no tráfegoA traffic flow exercise79

Apênd. AApp. A Arquivos MATLAB (m-files)MATLAB Files (m-files) p. 81

A.1Solução numérica de EDOsNumerical solution of ODEs82

A.1.1Euler explícitoExplicit Euler82

A.1.2Euler implícitoImplicit Euler83

A.1.3Regra do trapézioTrapezoidal rule84

A.2Dinâmica de populaçõesPopulation dynamics84

A.3Modelo das cigarrasCicada model85

A.4Dispersão de poluentesPollutant dispersion91

A.5Enchente no rioRiver flooding95

Conteúdo

Content

Os CapítulosThe Chapters

Capítulo 1 · pp. 1–27

Chapter 1 · pp. 1–27

Introdução

Introduction

O matemático aplicado como tradutor simultâneo entre o mundo físico e o matemático. Introdução à solução numérica: discretização, erros, Euler explícito e implícito, regra do trapézio, estabilidade e validação.

The applied mathematician as simultaneous translator between the physical and mathematical worlds. Introduction to numerical solutions: discretization, errors, explicit and implicit Euler, trapezoidal rule, stability, and validation.

EDO DiscretizaçãoDiscretization Euler EstabilidadeStability

Capítulo 2 · pp. 28–80

Chapter 2 · pp. 28–80

Modelagem e Aplicações

Modeling and Applications

Quatro estudos de caso: dinâmica de populações (Lotka-Volterra), o mistério dos números primos nas cigarras e ressonância, dispersão de poluentes por advecção-difusão, enchentes em rios e tráfego.

Four case studies: population dynamics (Lotka-Volterra), the prime-number mystery of periodic cicadas and resonance, pollutant dispersion via advection-diffusion, river flooding and traffic flow.

Lotka-Volterra Números primosPrime numbers RessonânciaResonance EDP

Apêndice A · pp. 81–106

Appendix A · pp. 81–106

Arquivos MATLAB (m-files)

MATLAB Files (m-files)

Listagens completas: Euler explícito e implícito, regra do trapézio, campo vetorial, oscilador forçado, modelo predador-presa das cigarras, advecção-difusão (explícito e implícito), algoritmo de Thomas para sistemas tridiagonais, enchente conservativa e não-conservativa.

Complete listings: explicit and implicit Euler, the trapezoidal rule, vector field, forced oscillator, cicada predator-prey model, advection-diffusion (explicit and implicit), the Thomas algorithm for tridiagonal systems, conservative and non-conservative flood models.

MATLAB Algoritmo de ThomasThomas algorithm Oscilador forçadoForced oscillator Método conservativoConservative method

Instituição

Institution

Instituto de Matemática Pura e Aplicada — IMPA
Jardim Botânico · Rio de Janeiro · Brasil

Evento

Event

21º Colóquio Brasileiro de Matemática
21–25 Julho de 1997 · ISBN 85-244-0127-3

PDF original

Original PDF

math.nyu.edu/~tabak/publications/CBM.pdf
Cortesia de Esteban Tabak · NYU Courant Courtesy of Esteban Tabak · NYU Courant