Uma condição de contato para a quinta dimensão

Tudo o que aparece nos capítulos anteriores é história e trabalho citado. Este capítulo é diferente: um breve cálculo meu, conferido à mão, que liga a forma kaluza-kleiniana da métrica à geometria de contato sobre a qual esta série é construída.

Preparação

Tome a métrica pentadimensional de Klein, com a quinta coordenada, chamada y, sobre um círculo. Sua parte fora da diagonal define uma 1-forma na variedade de dimensão cinco:

η = dy + κ A, A = A_μ dx^μ on the 4D base

Diferenciando, dη = κ dA = κ F, onde F é a intensidade do campo eletromagnético levada (por pullback) da base. Então

η ∧ dη ∧ dη = (dy + κA) ∧ κ² F ∧ F = κ² dy ∧ F ∧ F

O segundo termo, κ³ A ∧ F ∧ F, se anula porque seria uma 5-forma construída apenas a partir da base quadridimensional. Assim, a forma de grau máximo é κ² dy ∧ F ∧ F.

[NÃO FEITO]Não verificado em Lean. A verificação na literatura mostrou que o núcleo é padrão (parágrafo anterior); a formulação em termos de Kaluza–Klein/E·B não foi encontrada enunciada, mas a ausência de resultados não prova novidade. O espaço do capítulo de espaço de jatos do Livro 4, J¹(ℝ, ℝ²), é outro objeto (um sistema de Pfaff de posto 2, não uma variedade de contato; o Capítulo 5 do Livro 4 agora diz isso); uma 5-variedade de contato verdadeira nessa família é J¹(ℝ², ℝ). Nada aqui resgata ou confirma a construção do Livro 4.

O que isto afirma e o que não afirma

Afirma: uma condição precisa sob a qual o fibrado em círculos de Kaluza-Klein carrega uma estrutura de contato cujo fluxo de Reeb é o círculo oculto. Não afirma: que o universo físico tenha uma estrutura de contato, nem que os operadores C/K/F/U da série ajam sobre ela. Um campo puramente elétrico ou puramente magnético tem F ∧ F = 0; portanto, as configurações mais simples dos livros-texto não são de contato.

Grabowska e Grabowski (arXiv:2207.04484) trabalham com mecânica hamiltoniana de contato e mencionam Kaluza–Klein numa frase de analogia; não deduzem a condição acima. Lerman (arXiv:math/0002041) trata da redução de contato por ações de círculo que preservam a forma de contato, com a variedade de contato dentro de sua simplectização. Procurei uma fonte que contrastasse a redução de Kaluza–Klein com a redução de contato e não encontrei, de modo que o contraste que eu havia esboçado aqui foi retirado.

O que a literatura já tem. O núcleo matemático é padrão e não é novo. A construção de Boothby–Wang fornece uma forma de contato num fibrado principal em círculos a partir de uma conexão cuja curvatura é simplética na base. A classificação de Hamilton das 5-variedades de Boothby–Wang (arXiv:1001.1953) enuncia isso para U(1)-fibrados sobre 4-variedades simpléticas, onde “curvatura simplética” significa que F é não degenerada, o que numa base de dimensão quatro equivale a F ∧ F ≠ 0. Ding e Geiges (arXiv:1107.4948) tratam de estruturas de contato em fibrados principais em círculos em geral. Do lado da física, Goto (arXiv:2310.17925) liga F ∧ F ≠ 0 a estruturas simpléticas e de contato para campos de Maxwell em fatias tridimensionais de 4-variedades lorentzianas com E e B paralelos, e Eager, Gary e Roberts (arXiv:1011.5231) escrevem as 5-variedades de Sasaki–Einstein como U(1)-fibrados e fazem a redução de Kaluza–Klein sobre elas. Uma busca delegada não encontrou fonte que enuncie a leitura explícita de Kaluza–Klein, η = dy + κA com contato exatamente onde E·B ≠ 0, nem o exemplo de Darboux em linguagem de Kaluza–Klein. Essa busca foi limitada (cerca de oito buscas na web; resumos e trechos, não artigos completos; Boyer–Galicki e o livro-texto de Geiges não foram consultados); portanto não é uma afirmação de novidade. A segunda passada (Boyer–Galicki–Matzeu, arXiv:math/9811098, Teorema 2.8; nLab sobre Boothby–Wang) enuncia a mesma condição de curvatura no cenário kähleriano e sasakiano. Para a leitura lorentziana, o resultado mais próximo é uma condição de contato tridimensional ω∧dω ≠ 0 para a helicidade eletromagnética (arXiv:1402.1793), que não é a condição 5-dimensional em E·B. Não consegui acessar o livro-texto de Geiges nem o livro de Boyer–Galicki, e não encontrei fonte que chame Boothby–Wang de redução de Kaluza–Klein. Trate a condição de contato como um fato conhecido em roupa nova.

[NÃO FEITO]Não verificado em Lean. Não verificado na literatura quanto a enunciado prévio. O espaço do capítulo sobre espaços de jatos do Livro 4, J¹(ℝ, ℝ²), é um objeto diferente (um sistema de Pfaff de corank 2, não uma variedade de contato); uma verdadeira 5-variedade de contato dessa família seria J¹(ℝ², ℝ). Nada aqui resgata nem confirma aquele capítulo.