Contato ímpar, simplético par: onde as cinco dimensões de Klein se situam na escada de dimensões do Livro 4
O Livro 4 sobe uma escada de dimensões: uma 3-variedade de contato (Capítulo 3), a simplectização quadridimensional (Capítulo 4), um espaço de jatos pentadimensional (Capítulo 5) e um sexto lugar em que o tempo retorna (Capítulo 6). Kaluza e Klein fornecem um espaço pentadimensional concreto e historicamente real. Este capítulo coloca os dois lado a lado e diz exatamente onde concordam e onde não concordam.
A geometria de contato padrão tem um ritmo limpo. Uma estrutura de contato vive numa variedade de dimensão ímpar 2n+1. Multiplique-a por uma reta e obtém-se a sua simplectização, uma variedade simplética de dimensão par 2n+2, com forma simplética d(esα) (o Livro 4, Cap. 4 §4.4, escreve isto no mesmo espírito). Assim, a escada alterna: 3 (contato), 4 (simplético), 5 (contato), 6 (simplético).
Tome o espaço-tempo quadridimensional, com coordenadas e um potencial eletromagnético A, e acrescente a coordenada circular y de Klein. A 1-forma η = dy + κA dá dη = κF, e o capítulo anterior mostrou que η ∧ dη ∧ dη = κ² dy ∧ F ∧ F. Logo, o espaço de Kaluza-Klein é de contato exatamente onde F ∧ F ≠ 0.
Um caso concreto. Suponha que o potencial dê um campo elétrico constante E ao longo de um eixo e um campo magnético constante B paralelo a ele. Em coordenadas (t, x, u, v) para o espaço-tempo, com u, v o plano perpendicular ao campo, tome A = E x dt + B u dv. Então F = E dx ∧ dt + B du ∧ dv, de modo que F ∧ F = 2EB dx ∧ dt ∧ du ∧ dv, que não se anula em lugar nenhum quando E e B são ambos não nulos. O campo de Reeb de η = dy + A é ∂/∂y, o círculo oculto.
A mesma estrutura é a padrão, sob um aspecto mais familiar. A forma de Darboux em R⁵ é dz − p₁ dx₁ − p₂ dx₂, a forma de contato do espaço de jatos de primeira ordem J¹(R², R). Escrevendo p dx = d(px) − x dp e absorvendo d(px) na coordenada circular, vê-se que ela é igual a dy + x₁ dp₁ + x₂ dp₂, uma forma de Kaluza-Klein com campo F = dx₁ ∧ dp₁ + dx₂ ∧ dp₂ e F ∧ F = 2 dx₁ ∧ dp₁ ∧ dx₂ ∧ dp₂ ≠ 0. Portanto, o genuíno espaço de jatos de contato pentadimensional é o espaço de Kaluza-Klein de um campo constante com F ∧ F ≠ 0.
O Capítulo 5 do Livro 4 usa J¹(R, R²), com coordenadas (x, y₁, y₂, p₁, p₂) e duas formas α_i = dy_i − p_i dx. Esse objeto tem dimensão cinco, mas o campo de planos ker α₁ ∩ ker α₂ tem dimensão três. Uma estrutura de contato numa variedade de dimensão cinco é um campo de planos de dimensão quatro. Assim, J¹(R, R²) com essas duas formas é um sistema diferencial exterior (um sistema de Pfaff de corank 2), não uma variedade de contato. O Capítulo 5 do Livro 4 agora traz uma caixa de correção dizendo o mesmo. O espaço que de fato se encaixa nos degraus ímpares da escada é J¹(R², R), que é o espaço de Kaluza-Klein acima.
O Capítulo 6 do Livro 4 acrescenta o tempo como sexta direção, com transformações de contato galileanas. A simplectização do espaço de contato pentadimensional também tem dimensão seis, mas sua coordenada extra s é a escala da forma de contato, não o tempo. Ambos dão seis dimensões. Não afirmo que sejam o mesmo objeto. O exemplo “galileano” do Capítulo 6 também falhou na sua própria verificação de invariância e agora está marcado como corrigido no próprio texto; a construção deveria ser refeita em relação à simplectização antes que os dois sejam identificados.
No Livro 4, o tempo é promovido a coordenada no degrau 2: a autonomização transforma um sistema dependente do tempo em um sistema autônomo num espaço com uma coordenada a mais. Grabowska e Grabowski (arXiv:2207.04484) usam o mesmo recurso para hamiltonianos de contato, em P × T*R. Na teoria de Kaluza-Klein, o tempo já é uma das quatro coordenadas da base, e a nova direção é o círculo. A escada e a linha de Kaluza acrescentam, portanto, uma dimensão por razões diferentes: uma para tornar um sistema autônomo, a outra para carregar a carga elétrica.