A ideia de que gravidade e luz são uma só geometria
Em 1921, Albert Einstein apresentou à Academia Prussiana de Ciências um artigo de Theodor Kaluza intitulado Zum Unitätsproblem der Physik (“Sobre o problema da unidade da física”). Einstein conhecia a ideia desde 1919 e havia escrito a Kaluza a respeito, com aprovação. Dois anos separam o primeiro conhecimento da ideia por Einstein de sua apresentação.
Einstein havia transformado a gravidade em geometria: a matéria diz ao espaço-tempo como se curvar, e o espaço-tempo curvo diz à matéria como se mover. O eletromagnetismo de Maxwell ficava ao lado, como um campo separado que vive sobre essa geometria. Kaluza perguntou o que aconteceria se houvesse mais uma direção de espaço, de modo que o espaço-tempo tivesse cinco dimensões em vez de quatro, e a única coisa no universo fosse a geometria desse mundo de cinco dimensões.
Ele manteve a lei mais simples possível, a versão em cinco dimensões das equações de vácuo de Einstein. Acrescentou uma restrição, hoje chamada de condição cilíndrica: nada depende da quinta coordenada. O universo é igual em todos os pontos ao longo da direção extra, como um cilindro comprido cuja forma nunca muda ao longo do comprimento.
Em seguida, escreveu a métrica de cinco por cinco em blocos. O bloco 4×4 familiar é a métrica do espaço-tempo comum. A linha e a coluna extras contêm quatro números novos, um para cada direção comum, e Kaluza os identificou com o potencial eletromagnético, multiplicado por uma constante fixada pela constante gravitacional de Newton. Há também um número extra, um campo escalar que Kaluza teve de carregar consigo.
O resultado: as equações de vácuo em cinco dimensões se separam nas equações de Einstein em quatro dimensões, e nas equações de Maxwell sem fontes, mais uma equação para o escalar. Gravidade e eletromagnetismo saem de um único objeto.
Como nada depende da quinta coordenada, o movimento ao longo dela se conserva, pela mesma lógica que faz o momento se conservar quando o espaço é uniforme. Kaluza viu que o momento conservado na quinta direção se comporta como carga elétrica, e que a trajetória de uma partícula em cinco dimensões, vista em quatro, obedece à lei da força de Lorentz de uma partícula carregada. Esta é a parte que sobreviveu a todas as reescritas posteriores. Carga elétrica é momento numa direção que não se pode ver.
A teoria não funcionava bem para o elétron. Vista em quatro dimensões, a dinâmica em cinco dimensões só produz a força de Lorentz quando a razão carga-massa da partícula é pequena; para o elétron ela é enorme, e a atração do campo escalar passaria a dominar. Einstein apontou isso a Kaluza, e Kaluza o considerou uma deficiência real. Ele também introduziu os termos de fonte da partícula à mão, fora da teoria de vácuo. Einstein e Jakob Grommer mostraram depois que as equações de vácuo de Kaluza não admitem uma partícula não singular e esfericamente simétrica. Numa carta de 1922 a Weyl, Einstein ainda escreveu que Kaluza era quem mais se aproximara da realidade.
O artigo de Kaluza termina em tom de dúvida. Um matemático que propõe que o universo tem uma direção invisível não pede que você acredite nisso. Pergunta se os números saem dela, e quase saíram.