Por que a quinta direção seria pequena, e o número que não é o de Planck
O cilindro de Kaluza podia ser infinitamente longo. Oskar Klein, em 1926, fez dele um círculo, e essa escolha carrega a maior parte da física.
Klein perguntou o que faria uma onda quântica no mundo de cinco dimensões de Kaluza. Uma onda que dá a volta num círculo precisa encaixar um número inteiro de comprimentos de onda na circunferência, ou se cancela. Assim, o momento na quinta direção só pode assumir valores em degraus: p₅ = nħ/R para um círculo de raio R. Como o momento de Kaluza na quinta direção é carga elétrica, a carga vem em degraus de números inteiros. A carga elétrica é quantizada, e uma dimensão extra compacta dá uma razão para isso.
O mesmo degrau aparece como massa. Uma partícula sem massa que se move ao longo do círculo parece, vista de quatro dimensões, uma partícula massiva portadora de carga. No arcabouço de Klein, a massa é da ordem da massa de Planck (nas convenções de Ravndal, a massa de Planck dividida por cerca de 23), muito mais pesada que qualquer partícula conhecida. O tamanho natural desses estados é enorme, e o das partículas observadas não é; essa discrepância é uma dificuldade antiga de toda a abordagem.
Klein inseriu o valor medido da carga do elétron e da constante gravitacional e obteve um círculo de cerca de 0,8 × 10⁻³⁰ cm. Sugeriu que essa pequenez, junto com a periodicidade, poderia explicar por que a quinta dimensão nunca é vista em experimentos comuns, porque tudo se faz média sobre ela.
Essa cifra é o comprimento do laço, não o seu raio. Usando a relação de Klein como van Dongen a imprime, λ = hc√(2κ)/e com κ = 8πG/c⁴, calculei-a em unidades gaussianas com constantes atuais e obtive 8,4 × 10⁻³¹ cm, o que reproduz os 0,8 × 10⁻³⁰ cm de Klein. Dividindo por 2π, o raio é 1,34 × 10⁻³¹ cm, cerca de 83 comprimentos de Planck (o comprimento de Planck é 1,6 × 10⁻³³ cm). Ravndal (arXiv:1309.4113) obtém um raio de cerca de 23 comprimentos de Planck, 3,8 × 10⁻³² cm. Os dois diferem por um fator exatamente igual a √(4π) ≈ 3,545. À mão, com o termo de Maxwell normalizado como −¼F² e o acoplamento κ² = 16πG/c², a condição de carga e = κħ/R dá R = 2LP/√α com α = e²/4πħc ≈ 1/137, que é o 23 LP de Ravndal. Assim, o fator vem de como a carga e o campo são normalizados (gaussiano versus Heaviside–Lorentz). Não li o artigo original de Klein para ver qual normalização ele usou. Trate o valor moderno, cerca de 23 comprimentos de Planck para o raio, como o padrão, e o número impresso por Klein como o mesmo cálculo em unidades mais antigas.
Klein fixou o campo escalar extra (o φ de Kaluza) como constante. Van Dongen observa, citando Thiry, que isso não é bem consistente: se se varia a ação primeiro e se congela o escalar depois, a própria equação de campo do escalar passaria a exigir F² = 0, o que exclui campos eletromagnéticos comuns. Versões posteriores mantêm o escalar como campo dinâmico, o dilaton, e ele importa nos capítulos de teoria das cordas que se seguem.