Reduzindo cinco a quatro: um caso resolvido

O capítulo 2 deste arco disse que a gravitação de vácuo de Kaluza em cinco dimensões contém a gravitação e o eletromagnetismo em quatro dimensões. Eis a afirmação numa forma que se pode testar, com um caso verificado por álgebra computacional.

A métrica de Klein

Tome o espaço-tempo de quatro dimensões com métrica g_μν e potencial eletromagnético A_μ, e acrescente uma quinta coordenada w. Na forma de Klein (como escrita em Ravndal, arXiv:1309.4113), a métrica de cinco dimensões e sua inversa são:

G = ( g_μν + κ²A_μA_ν, κA_μ ; κA_ν, 1 ), G⁻¹ = ( g^μν, −κA^μ ; −κA^ν, 1 + κ²A² )

Nada depende de w. A identidade que faz a teoria funcionar é que o escalar de curvatura em cinco dimensões se decompõe como o de quatro dimensões menos um múltiplo da energia eletromagnética:

R₍₅₎ = R₍₄₎ − ¼ κ² F_μνF^μν

Variar a ação construída a partir de R₍₅₎ dá então as equações de Einstein com a tensão de Maxwell como fonte, e as equações de Maxwell. Neste capítulo, enuncio a identidade como resultado padrão e não a rededuzi aqui em geral; o parágrafo seguinte a testa num caso.

Um caso, verificado

Tome o espaço plano de quatro dimensões, de modo que R₍₄₎ = 0, com um campo magnético uniforme B ao longo de z, dado por A = B x dy. Então F_xy = B e F_μνF^μν = 2B². A identidade prevê R₍₅₎ = −κ²B²/2. Calculei simbolicamente os símbolos de Christoffel e o escalar de Ricci da métrica de cinco dimensões (Python sympy, assinatura −+++ +, componentes da métrica g_tt = −1, g_xx = g_zz = g_ww = 1, g_yy = 1 + κ²B²x², g_yw = κBx). O resultado foi R₍₅₎ = −κ²B²/2, coincidindo exatamente com a previsão.

[VERIFICADO, UM CASO]A verificação por álgebra computacional cobre apenas o caso do campo uniforme. Ela confirma o sinal e o fator ¼ para essa configuração; não prova a identidade em geral.

Um contraste com a condição de contato

Este campo magnético puro tem F ∧ F = 0, de modo que, pelo capítulo anterior, seu espaço de Kaluza–Klein não é de contato, e no entanto é uma solução perfeitamente boa da redução. Ser de contato é uma condição extra, não uma característica de todo espaço de Kaluza–Klein. Para obtê-la são necessários E e B juntos e não ortogonais.