Einstein retorna, 1938–1943

Einstein não deixou a ideia de Kaluza em paz para sempre. Depois de cerca de cinco anos afastado, ele e Peter Bergmann voltaram a ela em 1938, e ele continuou trabalhando nela até 1943.

O que ele queria

O alvo de toda a vida de Einstein era uma teoria de campo pura em que as partículas não são ingredientes extras, mas concentrações suaves do campo, soluções sem singularidades. No artigo, ele e Bergmann observam que muitas tentativas de construir tal partícula na teoria de Kaluza haviam fracassado, e que estavam convencidos de que não existe tal solução na versão de vácuo.

A mudança

Eles relaxaram a condição cilíndrica. Os campos agora podiam depender da quinta coordenada, mas só periodicamente, num círculo de pequena circunferência b. A imagem deles é uma faixa curvada num tubo. Se b é pequeno comparado com a rapidez com que as coisas mudam ao longo das outras direções, então uma função no tubo parece quase a mesma em toda a volta do círculo e pode ser tratada como função apenas das coordenadas comuns. Essa é a resposta que deram para o porquê de vermos quatro dimensões.

Permitir a oscilação na quinta direção trouxe a matéria de volta. Um campo que varia em torno do círculo carrega momento na quinta direção, que é carga, de modo que matéria carregada poderia surgir da própria geometria, que era o que Einstein queria. Segundo van Dongen, eles não escreveram uma expansão de Fourier (isso veio da literatura posterior), mas supuseram tacitamente que as partes dos campos que variam em torno do círculo são pequenas em comparação com a parte constante.

O que eles não conseguiram fazer

Klein havia fixado o tamanho do círculo por quantização, usando a constante de Planck e a relação de de Broglie. Einstein e Bergmann trabalharam de forma clássica, sem ħ, e por isso não puderam calcular b a partir da carga do elétron. A escala da dimensão extra permaneceu um parâmetro livre. Também não encontraram a partícula não singular que buscavam. Van Dongen discute como Einstein esperava que uma teoria de campo clássica pudesse, por fim, dar conta do comportamento quântico em vez de partir dele.

[ESTADO]Tudo nesta página sobre o trabalho de 1938–43 foi tirado do artigo de van Dongen (§4). Uma busca delegada não conseguiu chegar ao artigo original de Einstein–Bergmann (Ann. Math. 39, 1938, no JSTOR, atrás de paywall) e encontrou apenas descrições secundárias; portanto ainda não o li. Van Dongen também relata que as constantes de acoplamento em suas equações de campo permaneceram arbitrárias porque a covariância geral em cinco dimensões não foi imposta; um segundo artigo a impôs, o que fixou as constantes, mas então as interações eletromagnética e gravitacional saíram com a mesma ordem de grandeza. Um leitor que cite o artigo de 1938 deve lê-lo antes.

Para o leitor geral, a lição não é que Einstein estava errado. Uma direção compacta pequena é o que muitas teorias posteriores de dimensões superiores usam. Ele chegou a ela por um ponto de partida diferente do de Klein, e sem o passo quântico que torna seu tamanho calculável.