Um monopolo de Kaluza-Klein e por que a fibra pode ser um círculo torcido
Até aqui, a quinta dimensão foi um círculo trivial preso a cada ponto do espaço-tempo. Ela não precisa ser trivial. Um círculo pode se torcer à medida que nos movemos pelo espaço de base, e essa torção é exatamente o que a intensidade de um campo eletromagnético mede.
A fibração de Hopf escreve a três-esfera S³ como um fibrado em círculos sobre a dois-esfera S². Cada ponto de S² tem acima de si um círculo inteiro de S³, e os círculos não podem ser escolhidos de modo consistente sobre toda a S²: o fibrado não é um produto. É o exemplo básico de um fibrado em círculos não trivial, e S³ é também o exemplo-padrão de variedade de contato de dimensão três, com os círculos de Hopf como órbitas do fluxo de Reeb de sua forma de contato padrão. Esse segundo fato é geometria de contato de manual. Não verifiquei se a forma de contato usada no Livro 4, Capítulo 3, para o sistema dm³ é essa forma padrão; portanto, a ligação com aquele capítulo é uma indicação para o leitor, não uma afirmação.
Van Dongen (arXiv:gr-qc/0009087, §5.3.1) descreve um sóliton de Kaluza–Klein construído a partir da métrica de Taub–NUT euclidiana. Sua quinta coordenada carrega um termo da forma dx⁵ + 4m(1 − cos θ)dφ, e o campo que se lê a partir dele é um monopolo magnético. O coeficiente (1 − cos θ) é singular em um dos polos, como no caso da corda de Dirac, e a singularidade é removida usando-se dois domínios de coordenadas cujas quintas coordenadas diferem por um deslocamento proporcional a φ. Para que isso seja consistente, a quinta coordenada precisa ser periódica, com período 16πm nas convenções dele, e a carga do monopolo é quantizada. Nas palavras dele, a condição de regularidade força a quinta dimensão a ser compacta: o fibrado é não trivial, e a fibra tem a estrutura de um grupo circular U(1).
Ele acrescenta uma ressalva importante. Classicamente, sem a relação de de Broglie que Klein usou, o monopolo nada diz sobre a quantização da carga elétrica. Introduzir a relação de de Broglie dá a condição de quantização de Dirac e, assim, liga o monopolo magnético à carga elétrica quantizada.
Este é o único ponto em que as três peças se encontram. O fibrado em círculos não trivial sobre uma esfera é um espaço de Kaluza–Klein. Seu espaço total, de dimensão ímpar, carrega uma uma-forma de conexão η, como no capítulo sobre contato, e no caso de Hopf η é a forma de contato de S³. O terceiro degrau da escada e a quinta dimensão de Kaluza são duas leituras diferentes do mesmo tipo de objeto: um fibrado em círculos sobre um espaço com uma dois-forma de curvatura.
Analogia e forma compartilhada, não um invariante compartilhado afirmado.